Thermodynamique statistique I et II (exercices)

Thermodynamique statistique I et II (exercices)

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Bachelier en sciences chimiques, troisième année, 15 H (partie I) et 15h (partie II) d'exercices des cours I et II. Titulaire du cours : P. Damman)

Cf. cette page

accès limité : lien intranet sur la méthodologieplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigThermodynamique statistique : méthodologie des exercices

séance I-1

* lancers de dés * Lancer d'un dé polyédrique * Tirage d'une carte * Lancers consécutifs d'un dé * logique booléenne, transformation des énoncés pour résoudre des problèmes équivalents plus faciles

Lancer d'un déplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancer d'un dé

Roman lead dice. A cube measuring 12x12x12mm, with one to six impressed dots on each face. Cf. Dice.

Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic license. Attribution: The Portable Antiquities Scheme/ The Trustees of the British Museum
Lancer d'un dé polyédriqueplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancer d'un dé polyédrique

Cela fait longtemps qu'on utilise des dès, et pas toujours à 6 faces ! (cf. Faience polyhedron inscribed with letters of the Greek alphabet,2nd–3rd century A.D.

Énoncé

* On lance un dé (normal, 6 faces carrées équiprobables) * Quelle est la probabilité que le résultat soit pair ? * Quelle est la probabilité que le résultat soit divisible par 3 ?
Tirage d'une carteplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigTirage d'une carte

Considérant un jeu de carte classique de 52 cartes à 13 valeurs et 4 couleurs qui, exposées à un choix au hasard, montrent uniquement 52 dos indiscernables.

Les couleurs sont deux rouges (coeur et carreau) et 2 noires (trèfle et pique). Les valeurs sont des nombres de 1 (as) à 10 et des figures (valet, dame et roi).
Lancers consécutifs d'un déplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancers consécutifs d'un dé

* Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois un “6” en lançant un dé consécutivement deux fois ? * Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois un “6” en lançant un dé consécutivement trois fois ?$n$
Lancers de plusieurs désplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancer de plusieurs dés

* On lance 2 dés et on fait la somme des valeurs obtenues * Quelles sont les valeurs possibles des sommes * Ont-elles toutes la même probabilité d'apparition ? * Quelle est la somme la plus probable ? * Quelle est la somme la moins probable ?
Lancers de pièces ("pile ou face")plugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancers de pièces ("pile ou face")

On considère des lancers de pièces, “pile ou face” ("Coin flipping", “coin tossing”, or “heads or tails” en anglais), en faisant l'hypothèse d'une probabilité égale d'occurrence des 2 possibilités.

* expérimenter à l'aide de pièces, par exemple faire des séries de 10 lancers (ou lancers de 10 pièces) en comptabilisant les nombres de
Cube de Rubik et couleursplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigCube de Rubik et couleurs

* Rubik's Cube

* On plonge un Rubik’s cube 8x8x8 entièrement dans un pot de peinture. * Combien de cubes élémentaires ont au moins une face peinte ? * Généraliser pour un cube à c différents de 8. * Comment effectuer ce calcul efficacement ?
Moyennes concernant des déplacements de véhiculesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMoyennes concernant des déplacements de véhicules

Énoncés

Automobile à vitesse variable

Soit une automobile se déplaçant pendant 20 minutes à 60 km/heure, ensuite 20 minutes à 120 km/heure et finalement 20 minutes à 90 km/heure. Le long du trajet, un radar est placé à chaque kilomètre.
Dénombrement d'interactions entre atomesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigDénombrement d'interactions entre atomes

En mécanique moléculaire, on utilise souvent des champs de force privilégiant les interactions par paires, qui permettent de calculer des énergies configurationnelles comportant des contributions d'interactions entre atomes liés (énergies liées aux variations de la longueur de liaison et de l'angle entre deux liaisons consécutives) et entre atomes non liés.$n(n-5)/2$
Séquences de brins d'ADNplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigSéquences de brins d'ADN

L'ADN (acide désoxyribonucléique) est constitué d'une suite de nucléotides qui existent en quatre types différents (notés A, C, G et T), du nom des bases adénine (A), cytosine (C), guanine (G) et thymine (T). Les brins s'associent en double hélice par une reproduction assurant une correspondance par paires, A et T d'une part, G et C d'autre part.
Séquences de protéinesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigSéquences de protéines

FIXME : à compléter...

Calculer le nombre total de brins différents d'ARN à partir duquel il est possible d'obtenir une séquence protéinique donnée.
Mises du bulletin multi du Lottoplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMises du bulletin multi du Lotto

Le bulletin Multi (bleu) donne la possibilité de jouer plus de 6 numéros (on peut jouer de 7 à 15 numéros) dans une grille qui compte 45 numéros allant de 1 à 45.

Le prix d’une combinaison de jeu de 6 numéros est à 1,25 €

Paradoxe des anniversairesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigParadoxe des anniversaires

Énoncé

* Quelle est la probabilité qu'au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour dans un groupe de 40 personnes ?

Solution

Il est plus simple de passer par le calcul de la probabilité complémentaire Pcomp(N), que toutes les N personnes présentes aient leur anniversaire des jours différents. Si on considère une personne à la fois, on multipliera les probabilités indépendantes d'$1-\frac{N!/(N-k)!}{N^k}$
Poker menteurplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigPoker menteur

Au poker menteur, on utilise 5 dés avec des valeurs de 1 à 6, ou 9, 10, valet, dame roi et as.

* En lançant les 5 dés, on peut obtenir des combinaisons particulières classables dans un ordre conventionnel : * rien * une paire * deux paires
Marche aléatoire symétrique à 1Dplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMarche aléatoire symétrique à 1D (nombre réduit de pas)

Énoncé

Soit un marcheur initialement à la position 0 et avançant ou reculant aléatoirement d'un mètre à chaque unité de temps, avec la même probabilité (p (avancer) = q (reculer) = 0.5). Les distances sont des valeurs absolues de positions qui, elles, doivent incorporer un signe positif ou négatif. (nombre réduit de pas)
Marche aléatoire asymétrique à 1Dplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMarche aléatoire asymétrique à 1D (grand nombre de pas)

Énoncé

On considère un réseau unidimensionnel caractérisé par des sites distants de a. Un atome transite d'un site à un voisin chaque τ secondes. Les probabilités sont p (transitions vers la droite) et (grand nombre de pas)
Production de flacons : statistiques sur les défautsplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigFlacons défectueux dans une production

Énoncé

* Dans une chaîne de production de produits pharmaceutiques, un flacon sur 100 est défectueux. On constitue un colis destiné à une pharmacie centrale avec un seul conditionnement de 100 pièces en prélevant aléatoirement 100 flacons dans la chaîne (la production est largement supérieure à 100). Quelle est la probabilité d’avoir

Synthèse de molécules en étoile : statistiquesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigSynthèse de molécules en étoile : statistiques

Énoncé :

On synthétise des molécules en étoile à partir de molécules CA4, BCD2, ECF où A, B, D et F représentent des groupements réactifs.

Par réaction, des liaisons chimiques A-B, et D-E peuvent se former avec respectivement des probabilités p et q.
Conformères d'alcanes linéaires : statistiques et entropie configurationnelleplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigConformères d'alcanes linéaires : statistiques et entropie configurationnelle

Énoncé :

Une chaîne polymère synthétisée à partir d'éthylène, ou un alcane linéaire sont constitués d'une chaine hydrocarbonée aliphatique linéaire composée de N atomes de carbone.
Marche aléatoire bidimensionnelle de cellules dans des canaux microfluidiquesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMarche aléatoire bidimensionnelle de cellules dans des canaux microfluidiques

Énoncé :

En utilisant des tampons et des techniques de lithographie, des scientifiques ont réussi à produire des obstacles carrés sur un plan, formant donc un réseau de canaux microfluidiques dans lequel des cellules peuvent circuler suivant les directions baptisées nord-sud et est-ouest.
Plus ça rate, plus on a de chances que ça marcheplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigPlus ça rate, plus on a de chances que ça marche

Exercice basé sur cette devise “Shadoks”, et pas seulement :

Réf :

Questions

* Combien d'essais seront-ils nécessaires, en moyenne, pour obtenir une réussite, si la probabilité élémentaire de réussite pour un essai vaut $p$$p$$q = 1-p$$p$$(1-p) p$$(1-p)^2 p$$(1-p)^3 p$$(1-p)^4 p$$(1-p)^{i-1} p$$(1-p) p$$$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$$p$$q = 1-… (un peu d'humour)

Élasticité du caoutchouc et modèle conformationnel élémentaireplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigÉlasticité du caoutchouc et modèle conformationnel élémentaire

Aspect thermodynamique

Une bande élastique de caoutchouc, polymère naturel dont on peut obtenir un équivalent synthétique par polymérisation de l'isoprène, peut être modélisée à la manière d'un gaz en utilisant des variables analogues au volume et à la pression :$\tau$$\delta W=-pdV$$C_V$$C_p$
Exercices simples sur l'entropie configurationelleplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigExercices simples sur l'entropie configurationelle

* A partir de mesures expérimentales et de calculs théoriques, des chercheurs ont proposé pour borne inférieure de l'entropie d'un cristal d'éthylène la valeur $0~J~K^{-1}~\mbox{mol}^{-1}$ et ont montré qu'on pouvait obtenir une valeur arbitrairement proche de zéro pour un cristal d'éthylène.$CH_2CD_2$$5.763~ J\!K^{-1}\mbox{mol}^{-1}$$CH_2CD_2$$CH_2CD_2$$CD_2CH_2$$0~J~K^{-1}~\mbox{mol}^{-1}$$CH_3D$$11.526~J~K^{-1}~\mbox{mol}^{-1}$$A$$B$$C$$A,…
Entropie gazeuse d'alcalins et de gaz raresplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigEntropie gazeuse d'alcalins et de gaz rares

On s'intéresse à l'entropie molaire de gaz, en particulier d'atomes d'alcalins et de gaz rares, dont on dispose de valeurs tabulées (ramenées à 298.15 K et 1 atm, les conditions ambiantes de température et de pression). La masse des atomes est aussi tabulée.

TP de simulations de Monte-Carlo, 2019
Simulations numériques de marches aléatoiresplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigSimulations numériques de marches aléatoires

La marche aléatoire est une formalisation mathématique du comportement sans mémoire d'un objet qui se déplace par pas successifs dans des directions quelconques.

Imaginez un ivrogne se déplaçant complètement au hasard. La question que les scientifiques se posent est (en Python)
https://www.complexity-explorables.org/ (codes Javascript)
TP (simulation) de thermodynamique "équation d'état d'un systèmes de sphères dures" (Vincent Démery, ESPCI)