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PhysicoChimie II (exercices)

Bachelier en sciences chimiques, troisième année, 30 H exercices du cours (titulaire du cours : P. Damman).

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  • Épreuve ou expérience aléatoire : processus dont le résultat est incertain (tirage au hasard , jets de dès,…)
  • Évènement : ensemble de résultats d'une épreuve aléatoire
    • Évènement élémentaire ou simple : événement constitué d'un seul élément (e.g. avoir un 6 pour le lancer d'un seul dé)
    • Évènement composé : union de plusieurs évènements élémentaires (e.g. avoir un multiple de 3 lors du lancer d'un seul dé ou de plusieurs dés)
    • Évènement certain : union de tous les évènements élémentaires. Sa probabilité vaudra 1
    • Évènement impossible : ensemble vide d'évènement {} dont la probabilité sera nulle
    • Événements incompatibles : 2 événements sont incompatibles si et seulement si leur réalisation simultanée est impossible
    • Événements compatibles : événements dont la réalisation simultanée est possible
    • Événements indépendants : évènements tels que la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre
      • Deux événements incompatibles, de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants
  • Espace des observables $\Omega$ : ensemble de tous les évènements élémentaires d'une expérience aléatoire (e.g. {1,2,3,4,5,6} pour le lancer d'un seul dé)
  • Probabilité : quantification du caractère probable d'un évènement, nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque, ou la chance, que l'événement se produise est grand.
    • À tout événement élémentaire, $E_i$ correspond une probabilité d'obtenir cet événement, $p(E_i)$
      • $0<p(E_i) < 1$
      • $p(E_i \ ou \ E_j) = p(E_i) + p(E_j) $
      • $\sum_{E_i} p(E_i) =p(\Omega) = 1$
  • Évènements équiprobables : évènements élémentaires ou composés, dont la probabilité est strictement équivalente
  • Théorie des ensembles et logique booléenne (dans le cadre des probabilités élémentaires). Soient $A$ et $B$ deux évènements a priori composés d'un ensemble d'évènements élémentaires. On aura :
    • si $A=\Omega$ alors $p(A)=1$ : évènement certain
    • si $A=\left\{\right\}$ alors $p(A)=0$ : évènement impossible (ex. faire 0 au dé)
    • si $A \subset B$ ou en écriture logique $A \Rightarrow B$ , alors $p(A) \le p(B)$ e.g.faire 2 implique un nombre pair
    • Loi de multiplication $A \cap B$ (ET) :
      • $A$ et $B$ sont incompatibles alors $A \cap B = 0$ et $p(A \cap B)=0$ : faire un 2 ET un nombre impair
      • $A$ et $B$ sont indépendants alors $p(A \cap B)=p(A) p(B)$ : tirer une dame de coeur dans un jeu de 52 cartes = obtenir une dame ET avoir la couleur coeur, donc $p=1/13 \ 1/4= 1/52$
    • Loi d'addition $A \cup B$ (OU) : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
      • e.g. avoir un nombre pair ou un multiple de 3, réponse: 2, 4, 6 et 3 ($p = 4/6$). En terme de probabilités : $p = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3$)
      • Attention! si $A$ et $B$ sont incompatibles $A \cap B =0$ et $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$}
  • Définition expérimentale de la probabilité d'un événement :
    • Si on réalise $N$ évènements indépendants lors d'une expérience (e.g. pile ou face), et si on observe $n_i$ résultats du type $E_i$, alors $p(E_i) = \lim_{N \rightarrow \infty} {n_i \over N}$ (N.B. : cela peut-être testé facilement par des expériences “pile ou face')

L'analyse combinatoire étudie les configurations de collections finies d'objets, et les dénombrements.

  • Permutations sans répétition d'objets discernables : si vous avez e.g. 5 objets différents à placer à 5 emplacements, vous avez 5 possibilités pour placer un des objets en premier lieu, puis, indépendamment 4 autres pour le second objet, 3 pour le troisième, et 2 pour le quatrième. Le cinquième n'a plus qu'une seule possibilité. L'indépendance des placements induit une multiplication des différentes possibilités, soit ici $5\times4\times3\times2\times1$ possibilités. Par généralisation, le nombre de permutations d'un nombre $n$ d'objets discernables vaut factorielle de n et est noté $n!$, avec $n! = \prod_{1\le i\le n} i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n$
  • Permutations avec répétition d'objets discernables : si on veut déterminer le nombre total de dispositions de 9 lettres dont précisément 4 A, 3 B et 2 C, il faut réduire les $9!$ permutations en tenant compte qu'il s'agit de 3 lettres discernables, mais qu'entre elles, les lettres A, B et C sont absolument indiscernables. Dans l'exemple, il faut donc diviser par $4!$, $3!$ et $2!$. En généralisant, le nombre de permutations de n éléments, répartis dans k classes dont n1 sont de classe 1, n2 sont de classe 2, …, nk sont de classe k, indiscernables dans chaque classe, ou le nombre de permutations de n éléments avec n1, n2, …, nk répétitions, avec $\left( \sum^k_{i=1} n_i = n \right)$, est égal à : $\frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}$
  • Arrangements de $p$ éléments parmi $n$ : si on effectue p tirages successifs parmi un ensemble de $p$ objets différents, le nombre d'arrangements vaut $n (n-1) (n-2) \ldots (n-p+1)$ et est noté $A_n^p$. En utilisant les notations factorielles, on a $A_n^p= {n! \over (n-p)}\quad\mbox{avec }p\leq n!$
    • Par exemple, au Lotto, sept boules sont prélevées une par une parmi 45 boules numérotées (de 1 à 45). Cela donne donc $45\times 44\times 43\times 42\times 41\times 40\times 39 = {45! \over 38!}=228713284800$ ou deux cent vingt-huit milliards sept cent treize millions deux cent quatre-vingt-quatre mille huit cents arrangements ou tirages possibles !
  • Combinaisons sans répétition
    • En poursuivant l'exemple du lotto, ce jeu attribue des gains 1) en fonction des numéros des 6 premières boules tirées quelque soit l'ordre de tirage de ces boules, et du numéro de la septième (numéro bonus). Les joueurs remplissent des grilles dont l'unité de base (combinaison de jeu) consiste à indiquer 6 numéros dans une série de 45 avec une mise de 1€. Si on s'intéresse uniquement au “gros lot”, le “rang 1” pour lequel les 6 numéros de la grille correspond exactement au 6 boules tirées, le nombre de combinaisons possibles est obtenu en divisant le nombre d'arrangements de 6 boules tirées parmi 45, divisé par le nombre de permutations de ces 6 boules qui donnent toutes la même combinaison. On a donc ${45! \over {39! \times 6!}}=(45\times 44\times 43\times 42\times 41\times 40)/(6\times 5\times 4\times 3\times 2) = 8145060$ possibilités !
    • En généralisant, le nombre de combinaison est donc obtenu en divisant le nombre d'arrangement par la factorielle du nombre d'objets tirés. On utilise les relations et notations suivantes : $C_n^p = {A_n^p \over p!} = {n! \over (n-p)! p!} = \binom{n}{p}$
    • L'exemple du Lotto permet d'introduire une interprétation des combinaisons sans répétition comme des permutations avec répétitions de 2 objets discernables. C'est très clair si on considère qu'une grille reprenant les 45 possibilités indique une combinaison de jeu par 6 “croix”, et 39 cases vierges. Le nombre de permutation de 6 croix et 39 cases vides vaut bien ${45! \over {39! \times 6!}}$.
    • Propriétés de $C_n^p$ :
      • Symétrie : $C_n^p = C_n^{n-p}$
      • Triangle de Pascal : $C_n^p = C_{n-1}^{p} + C_{n-1}^{p-1}$
      • Binôme de Newton : $(x + y)^n = \sum_{p=0}^n C_n^p \ x^p \ y^{n-p}$
        • Démonstration par récurrence, considérant que la relation est vraie pour $n=0, 1$ et en utilisant la formule du triangle de Pascal, \begin{eqnarray*} (x + y)^{n+1} &=& (x+y) \ \sum_{p=0}^n C_n^p \ x^p \ y^{n-p}\\ &=& x^{n+1} + x \sum_{p=0}^{n-1} C_n^p \ x^p \ y^{n-p} + y^{n+1} + y \sum_{p=1}^n C_n^p \ x^p \ y^{n-p}\\ &=& x^{n+1} + y^{n+1} + \sum_{p=1}^n \left[ C_n^p + C_n^{p-1}\right] \ x^p \ y^{n-p+1} \\ &=& x^{n+1} + y^{n+1} + \sum_{p=1}^n C_{n+1}^p \ x^p \ y^{n+1-p} \\ &=& \sum_{p=0}^{n+1} C_{n+1}^p \ x^p \ y^{n+1-p} \end{eqnarray*}
  • Variable aléatoire : une variable aléatoire $X$ est définie sur l'espace des observables (espace des événements possibles). À chaque valeur possible $x$ correspond une probabilité $P(x)$ que $X$ soit égale à $x$
    • Variable aléatoire discrète : si $x_1, x_2, x_3, \ldots$ constitue l'ensemble discret des valeurs possibles de $X$, les $P(x_i)$ forment la distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$
    • Variable aléatoire continue : si $x$ peut varier continûment, $P(x)$ est la densité de probabilité que la variable prenne une valeur comprise entre $x$ et $x+dx$. L'unité de $P(x)$ est donc en inverse de celle de l'espace des $x$ et seul $P(x) dx$ a la dimension d'une probabilité (nombre) : $P(x) dx = P(x \le X < x+dx)$
    • Positivité :
      • $P(x_i) \ge 0$ pour tout $x_i$ (variable aléatoire discrète)
      • $P(x) \ge 0$ pour tout $x$ (variable aléatoire continue)
    • Normalisation :
      • $\sum_{x_i} P(x_i) =1$ (variable aléatoire discrète)
      • $\int_{\Omega} P(x) dx = 1$ (variable aléatoire continue)
  • Toute l'information sur une expérience est contenue dans la distribution $P(x)$}
  • Une description équivalente est donnée par l'ensemble de toutes les grandeurs caractéristiques appelées {\bf moments de la distribution} :
    • $<X^n> = \sum_i x_i^n P(x_i)$ (variable aléatoire discrète, avec n fini)
    • $<X^n> = \int_{\Omega} x^n P(x) dx$ (variable aléatoire continue, avec n infini)
  • Une description simplifiée est obtenue en ne tenant compte que de quelques plus petites valeurs de n :
  • Les deux premiers moments
    • Valeur moyenne ou espérance
      • $<X> = \sum_i x_i \ P(x_i)$ ou $<X> = \int_{{\Omega}} x \ P(x) dx$ avec ${\Omega}$ le volume de l'espace des phases/observables
    • Variance
      • La variance $Var(X)$ ou $\sigma^2$ caractérise la largeur de la distribution (ou l'écart à la moyenne) : $\sigma^2 = <(X - <X>)^2> = <X^2> - <X>^2$. La racine carrée est l'écart type, $\sigma$.
  • Lancer d'un déplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancer d'un dé

    Roman lead dice. A cube measuring 12x12x12mm, with one to six impressed dots on each face. Cf. Dice.

    Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic license. Attribution: The Portable Antiquities Scheme/ The Trustees of the British Museum
  • Lancer d'un dé polyédriqueplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancer d'un dé polyédrique

    Cela fait longtemps qu'on utilise des dès, et pas toujours à 6 faces ! (cf. Faience polyhedron inscribed with letters of the Greek alphabet,2nd–3rd century A.D.

    Énoncé

    * On lance un dé (normal, 6 faces carrées équiprobables) * Quelle est la probabilité que le résultat soit pair ? * Quelle est la probabilité que le résultat soit divisible par 3 ?
  • Tirage d'une carteplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigTirage d'une carte

    Considérant un jeu de carte classique de 52 cartes à 13 valeurs et 4 couleurs qui, exposées à un choix au hasard, montrent uniquement 52 dos indiscernables.

    Les couleurs sont deux rouges (coeur et carreau) et 2 noires (trèfle et pique). Les valeurs sont des nombres de 1 (as) à 10 et des figures (valet, dame et roi).
  • Lancers consécutifs d'un déplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancers consécutifs d'un dé

    * Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois un “6” en lançant un dé consécutivement deux fois ? * Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois un “6” en lançant un dé consécutivement trois fois ?$n$
  • Lancers de plusieurs désplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigLancer de plusieurs dés

    * On lance 2 dés et on fait la somme des valeurs obtenues * Quelles sont les valeurs possibles des sommes * Ont-elles toutes la même probabilité d'apparition ? * Quelle est la somme la plus probable ? * Quelle est la somme la moins probable ?
  • Moyennes concernant des déplacements de véhiculesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMoyennes concernant des déplacements de véhicules

    Énoncés

    Automobile à vitesse variable

    Soit une automobile se déplaçant pendant 20 minutes à 60 km/heure, ensuite 20 minutes à 120 km/heure et finalement 20 minutes à 90 km/heure. Le long du trajet, un radar est placé à chaque kilomètre.
  • Dénombrement d'interactions entre atomesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigDénombrement d'interactions entre atomes

    En mécanique moléculaire, on utilise souvent des champs de force privilégiant les interactions par paires, qui permettent de calculer des énergies configurationnelles comportant des contributions d'interactions entre atomes liés (énergies liées aux variations de la longueur de liaison et de l'angle entre deux liaisons consécutives) et entre atomes non liés.$n(n-5)/2$
  • Paradoxe des anniversairesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigParadoxe des anniversaires

    Énoncé

    * Quelle est la probabilité qu'au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour dans un groupe de 40 personnes ?

    Solution

    Il est plus simple de passer par le calcul de la probabilité complémentaire Pcomp(N), que toutes les N personnes présentes aient leur anniversaire des jours différents. Si on considère une personne à la fois, on multipliera les probabilités indépendantes d'$1-\frac{N!/(N-k)!}{N^k}$
  • Poker menteurplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigPoker menteur

    Au poker menteur, on utilise 5 dés avec des valeurs de 1 à 6, ou 9, 10, valet, dame roi et as.

    * En lançant les 5 dés, on peut obtenir des combinaisons particulières classables dans un ordre conventionnel : * rien * une paire * deux paires
  • Marche aléatoire symétrique à 1Dplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMarche aléatoire symétrique à 1D (nombre réduit de pas)

    Énoncé

    Soit un marcheur initialement à la position 0 et avançant ou reculant aléatoirement d'un mètre à chaque unité de temps, avec la même probabilité (p (avancer) = q (reculer) = 0.5). Les distances sont des valeurs absolues de positions qui, elles, doivent incorporer un signe positif ou négatif.
    (nombre réduit de pas)
  • Marche aléatoire asymétrique à 1Dplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMarche aléatoire asymétrique à 1D (grand nombre de pas)

    Énoncé

    On considère un réseau unidimensionnel caractérisé par des sites distants de a. Un atome transite d'un site à un voisin chaque τ secondes. Les probabilités sont p (transitions vers la droite) et
    (grand nombre de pas)
  • Production de flacons : statistiques sur les défautsplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigFlacons défectueux dans une production

    Énoncé

    * Dans une chaîne de production de produits pharmaceutiques, un flacon sur 100 est défectueux. On constitue un colis destiné à une pharmacie centrale avec un seul conditionnement de 100 pièces en prélevant aléatoirement 100 flacons dans la chaîne (la production est largement supérieure à 100). Quelle est la probabilité d’avoir
  • Simulations numériques de marches aléatoiresplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigSimulations numériques de marches aléatoires

    La marche aléatoire est une formalisation mathématique du comportement sans mémoire d'un objet qui se déplace par pas successifs dans des directions quelconques.

    Imaginez un ivrogne se déplaçant complètement au hasard. La question que les scientifiques se posent est
    (en Python)
  • Synthèse de molécules en étoile : statistiquesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigSynthèse de molécules en étoile : statistiques

    Énoncé :

    On synthétise des molécules en étoile à partir de molécules CA4, BCD2, ECF où A, B, D et F représentent des groupements réactifs.

    Par réaction, des liaisons chimiques A-B, et D-E peuvent se former avec respectivement des probabilités p et q.
  • Conformères d'alcanes linéaires : statistiques et entropie configurationnelleplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigConformères d'alcanes linéaires : statistiques et entropie configurationnelle

    Énoncé :

    Une chaîne polymère synthétisée à partir d'éthylène, ou un alcane linéaire sont constitués d'une chaine hydrocarbonée aliphatique linéaire composée de N atomes de carbone.
  • Marche aléatoire bidimensionnelle de cellules dans des canaux microfluidiquesplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigMarche aléatoire bidimensionnelle de cellules dans des canaux microfluidiques

    Énoncé :

    En utilisant des tampons et des techniques de lithographie, des scientifiques ont réussi à produire des obstacles carrés sur un plan, formant donc un réseau de canaux microfluidiques dans lequel des cellules peuvent circuler suivant les directions baptisées nord-sud et est-ouest.

1)
en fait statistiquement des “pertes” puisque le taux de redistribution est d'environ 50%
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  • Dernière modification: 2016/02/24 12:17
  • de villersd