Marche aléatoire asymétrique à 1D (grand nombre de pas)

On considère un réseau unidimensionnel caractérisé par des sites distants de a. Un atome transite d'un site à un voisin chaque τ secondes. Les probabilités sont p (transitions vers la droite) et q = 1 - p (transitions vers la gauche).

1. Calculer la position moyenne <x> de l'atome au temps t = Nτ (avec N » 1)
2. Calculer à ce temps t la variance sur la position

Suggestions :

• effectuer le calcul en suivant la définition d'une moyenne, de la variance, pour N étapes, en utilisant des dérivées par rapport à la probabilité p pour refaire apparaître des coefficients binomiaux dans les sommes. Cette technique de calcul est régulièrement utilisée dans des calculs de thermodynamique statistique.
• Effectuer le calcul pour un seul temps élémentaire, et considérer l'hypothèse aléatoire (pas de mémoire) pour

exprimer la moyenne et la variance pour un grand nombre de pas * Vérifier la correspondance à une distribution normale suivant les valeurs de N et p