teaching:exos:random_walk-1d-many_steps-unsymetric [Didier Villers, UMONS

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====== Marche aléatoire asymétrique à 1D (grand nombre de pas) ======
===== Énoncé =====
On considère un réseau unidimensionnel caractérisé par des sites distants de a. Un atome transite d'un site à un voisin chaque τ secondes. Les probabilités sont //p// (transitions vers la droite) et //q = 1 - p// (transitions vers la gauche).

  - Calculer la position moyenne <x> de l'atome au temps t = Nτ (avec N >> 1)
  - Calculer à ce temps t la variance sur la position

Suggestions :
  * effectuer le calcul en suivant la définition d'une moyenne, de la variance, pour N étapes, en utilisant des dérivées par rapport à la probabilité p pour refaire apparaître des coefficients binomiaux dans les sommes. Cette technique de calcul est régulièrement utilisée dans des calculs de thermodynamique statistique.
  * Effectuer le calcul pour un seul temps élémentaire, et considérer l'hypothèse aléatoire (pas de mémoire) pour
exprimer la moyenne et la variance pour un grand nombre de pas
 * Vérifier la correspondance à une distribution normale suivant les valeurs de N et p

===== Solution =====