Rotateur biatomique

Cf. cette pageplugin-autotooltip__default plugin-autotooltip_bigRotation de molécules biatomiques

On s'intéresse à la rotation de molécules biatomiques homo-nucléaires ou hétéro-nucléaires, et à la relation entre la température et les taux d'occupations des états de différentes énergies.

Les états et énergies $E_{rot} = J(J+1) \frac{h^2}{8 \pi^2 I} \ \ \ \ \ J=0,1,2,... \,$$E_{rot} = J(J+1) \frac{\hbar^2}{2 \mu r_{0}^2} \ \ \ \ \ J=0,1,2,... \,$$E_{rot} = J(J+1) k_B \theta_{rot} \ \ \ \ \ J=0,1,2,... \,$$E_{rot} = J(J+1) h c B_{rot} \ \ \ \ \ J=0,1,2,... \….

Code source, en Python 3 :

rotateur_biatomique-02.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Somme d'état (ensemble canonique) de rotation (rotateur biatomique)
 
Les impressions sont à récrire avec l'instruction format() de python 3
"""
 
from math import exp    # on a juste besoin de l'exponentielle
import matplotlib.pyplot as plt  # directive d'importation standard de Matplotlib
 
T = 100. # (température réduite = T / Theta)
Zrot = 0.  # somme d'état
Jmax = 30  # valeur maximale de J
print('---------------------------------------------------')
print('|   J | dégénerescence | J*(J+1) |   terme de Z   |') 
print('---------------------------------------------------')
Js=[]
terms=[]
for J in range(Jmax+1):
    g = 2*J+1  # dégénerescence
    term= (2*J+1)*exp(-J*(J+1)/T)
    print('| %3d |      %4d      |  %4d   | %.8e |' % (J, g, J*(J+1), term))
    Zrot += term
    Js.append(J)
    terms.append(term)
print('---------------------------------------------------')
 
print( "Somme d'état à T=%3d jusqu'au niveau %2d : %.8e " % (T,Jmax,Zrot))
 
fig = plt.figure()
plt.title(u"Rotateur biatomique et somme d'état à T = "+str(T))
plt.plot(Js, terms, 'bo', label=r'$(2J+1)\exp{(-J(J+1)\theta_{rot}/T)}$')
plt.legend(loc='upper right')
plt.vlines(Js, [0], terms)
plt.xlabel(u"Niveaux J")  
plt.ylabel(u"Termes de la somme d'état")
eq = r'$Z_I^{Rot} = \sum_{J} (2J+1) \exp{(-J(J+1)\theta_{rot}/T)} = '+str(round(Zrot,3))+"$"
size = 14
x,y = 12,7
plt.text(x, y, eq, fontsize=size, clip_on=True)
 
plt.show()  # vue interactive de la figure

Figure :

Sortie des valeurs :

---------------------------------------------------
|   J | dégénerescence | J*(J+1) |   terme de Z   |
---------------------------------------------------
|   0 |         1      |     0   | 1.00000000e+00 |
|   1 |         3      |     2   | 2.94059602e+00 |
|   2 |         5      |     6   | 4.70882267e+00 |
|   3 |         7      |    12   | 6.20844306e+00 |
|   4 |         9      |    20   | 7.36857678e+00 |
|   5 |        11      |    30   | 8.14900043e+00 |
|   6 |        13      |    42   | 8.54160866e+00 |
|   7 |        15      |    56   | 8.56813596e+00 |
|   8 |        17      |    72   | 8.27478835e+00 |
|   9 |        19      |    90   | 7.72482354e+00 |
|  10 |        21      |   110   | 6.99029276e+00 |
|  11 |        23      |   132   | 6.14411195e+00 |
|  12 |        25      |   156   | 5.25340178e+00 |
|  13 |        27      |   182   | 4.37469528e+00 |
|  14 |        29      |   210   | 3.55123642e+00 |
|  15 |        31      |   240   | 2.81225655e+00 |
|  16 |        33      |   272   | 2.17386690e+00 |
|  17 |        35      |   306   | 1.64106933e+00 |
|  18 |        37      |   342   | 1.21036009e+00 |
|  19 |        39      |   380   | 8.72460102e-01 |
|  20 |        41      |   420   | 6.14818650e-01 |
|  21 |        43      |   462   | 4.23670231e-01 |
|  22 |        45      |   506   | 2.85550178e-01 |
|  23 |        47      |   552   | 1.88274853e-01 |
|  24 |        49      |   600   | 1.21458857e-01 |
|  25 |        51      |   650   | 7.66753988e-02 |
|  26 |        53      |   702   | 4.73727511e-02 |
|  27 |        55      |   756   | 2.86481384e-02 |
|  28 |        57      |   812   | 1.69591336e-02 |
|  29 |        59      |   870   | 9.82856285e-03 |
|  30 |        61      |   930   | 5.57687812e-03 |
---------------------------------------------------
Somme d'état à T=100 jusqu'au niveau 30 : 1.00327380e+02