Outils pour utilisateurs

Outils du site


teaching:exos:plus_ca_rate_plus_on_a_de_chance_que_ca_marche

Plus ça rate, plus on a de chances que ça marche

Exercice basé sur cette devise “Shadoks”, et pas seulement :

img.over-blog-kiwi.com_0_56_03_95_20150314_ob_fb5568_1795547-919054304791607-88550165017877.jpg

Réf : http://phdcomics.com/comics/archive.php?comicid=1946

Questions

  • Combien d'essais seront-ils nécessaires, en moyenne, pour obtenir une réussite, si la probabilité élémentaire de réussite pour un essai vaut $p$ ?
  • Caractériser la distribution ?
  • Simuler pour vérifier, représenter la distribution ?
  • Application aux jeux de hasard (source : lotterie nationale) : soit un joueur décidant de miser 10 EUR par semaine (8 grilles) dans l'espoir de gagner le gros lot afin de finir ses jours sur une île paradisiaque. Statistiquement, combien de tirages seront nécessaires pour atteindre son objectif ? Quelle somme aura-t-il misé au total ?

Solution

Au premier essai, il existe une probabilité $p$ de réussite. En cas d'échec, on passe au second essai avec une probabilité de $q = 1-p$, et ce second essai a lui même une probabilité $p$ de réussite. On aura donc la distribution suivante pour les probabilités en fonction du nombre d'essais :

Nombre d'essais Probabilité
1 p
2 $(1-p) p$
3 $(1-p)^2 p$
4 $(1-p)^3 p$
5 $(1-p)^4 p$
i $(1-p)^{i-1} p$

Pour le calcul de la moyenne du nombre d'essais, cette probabilité $(1-p) p$ doit être multipliée par 2. En poursuivant le raisonnement, on obtient pour la moyenne m :

$$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$

On peut mettre $p$ en évidence, et utiliser $q = 1-p$ :

$$m = p (1 + 2 q + 3 q^2 + 4 q^3 + 5 q^4 + ...$$

On remarque que la parenthèse peut s'exprimer comme une dérivée par rapport à $q$ :

$$m = p \frac{d}{dq} ( q + q^2 + q^3 + q^4 + ...)$$

On peut remplacer la série géométrique de raison $q$, donc :

$$m = p \frac{d}{dq} \frac{q}{1-q} = 1/p$$

Il est intéressant de vérifier que la somme des probabilités vaut 1.

FIXME : compléter avec une simulation,…

Vidéo

  • An Introduction to the Geometric Distribution, par jbstatistics : « I discuss the underlying assumptions that result in a geometric distribution, the formula, and the mean and variance of the distribution. I work through an example of the calculations and then discuss the cumulative distribution function. »

Références

Ce site web utilise des cookies pour analyser le trafic de visites. En restant sur ce site, vous acceptez le stockage de cookies sur votre ordinateur. En savoir plus
teaching/exos/plus_ca_rate_plus_on_a_de_chance_que_ca_marche.txt · Dernière modification: 2018/09/19 10:31 par villersd