Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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teaching:exos:plus_ca_rate_plus_on_a_de_chance_que_ca_marche [2018/09/17 09:04] – villersd | teaching:exos:plus_ca_rate_plus_on_a_de_chance_que_ca_marche [2018/09/19 10:31] (Version actuelle) – villersd | ||
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Ligne 10: | Ligne 10: | ||
===== Questions ===== | ===== Questions ===== | ||
- | * Combien d' | + | * Combien d' |
- | * Distribution | + | * Caractériser la distribution |
- | * Simulation | + | * Simuler |
+ | * Application aux jeux de hasard (source : [[https:// | ||
===== Solution ===== | ===== Solution ===== | ||
+ | Au premier essai, il existe une probabilité $p$ de réussite. En cas d' | ||
+ | ^ Nombre d' | ||
+ | | 1 | p | | ||
+ | | 2 | $(1-p) p$ | | ||
+ | | 3 | $(1-p)^2 p$ | | ||
+ | | 4 | $(1-p)^3 p$ | | ||
+ | | 5 | $(1-p)^4 p$ | | ||
+ | | ... | ... | | ||
+ | | i | $(1-p)^{i-1} p$ | | ||
+ | | ... | ... | | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Pour le calcul de la moyenne du nombre d' | ||
+ | |||
+ | $$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$ | ||
+ | |||
+ | On peut mettre $p$ en évidence, et utiliser $q = 1-p$ : | ||
+ | |||
+ | $$m = p (1 + 2 q + 3 q^2 + 4 q^3 + 5 q^4 + ...$$ | ||
+ | |||
+ | On remarque que la parenthèse peut s' | ||
+ | |||
+ | $$m = p \frac{d}{dq} ( q + q^2 + q^3 + q^4 + ...)$$ | ||
+ | |||
+ | On peut remplacer la série géométrique de raison $q$, donc : | ||
+ | |||
+ | $$m = p \frac{d}{dq} \frac{q}{1-q} = 1/p$$ | ||
+ | |||
+ | Il est intéressant de vérifier que la somme des probabilités vaut 1. | ||
+ | |||
+ | FIXME : compléter avec une simulation, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Vidéo ===== | ||
+ | |||
+ | {{ youtube> | ||
+ | |||
+ | * An Introduction to the Geometric Distribution, | ||
+ | |||
+ | ===== Références ===== | ||
+ | * [[wp> | ||
+ | * [[https:// | ||
+ | |||
+ | {{url> | ||
- | $$Moyenne = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$ |