Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- teaching:exos:cv_vibration_einstein-solutions [2018/02/19 12:19] – villersd
+++ teaching:exos:cv_vibration_einstein-solutions [2018/02/20 11:07] (Version actuelle) – [Résolution utilisant les relations de l'ensemble canonique] villersd
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     * On peut définir $X$ comme le nombre de quanta de vibration disponible pour les vibrateurs. La somme d'état est donc le nombre de solutions entières de l'équation $X = \left(n_1+n_2+ ... + n_N)$. Le problème se ramène au problème combinatoire de dénombrer le nombre de façon d'attribuer $X$ quanta à $N$ vibrateurs, ou de mettre $X$ boules dans $N$ boites. Cela équivaut à permuter $X$ boules indiscernables et $(N-1)$ séparations indiscernables de boites : $$\Omega = \frac{\left(X+N-1\right)!}{\left(X\right)! \left(N-1\right)!}$$
   * Comment en déduire des grandeurs thermodynamiques (aspect macroscopique) ?
-    * On peut définir une température caractéristique $\Theta$ telle que $k\Theta = h\nu$. Les relations thermodynamiques permettent de calculer l'inverse de la température, en appliquant l'[[wp>fr:Formule_de_Stirling|approximation de Stirling]] t en considérant que $N$ et $X$ sont grands devant 1 : $$\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N} \frac{dX}{dE} = \frac{1}{\Theta} \log \frac{N+X}{X}$$ d'où l'énergie de vibration peut s'écrire comme $$E = N \frac{k\Theta}{2} + \frac{Nk\Theta}{\exp(\frac{\Theta}{T})-1}$$
+    * On peut définir une température caractéristique $\Theta$ telle que $k\Theta = h\nu$. Les relations thermodynamiques permettent de calculer l'inverse de la température, en appliquant l'[[wp>fr:Formule_de_Stirling|approximation de Stirling]] t en considérant que $N$ et $X$ sont grands devant 1 : $$\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N} = \left(\frac{\partial S}{\partial X}\right) \frac{dX}{dE} = \frac{1}{\Theta} \log \frac{N+X}{X}$$ d'où l'énergie de vibration peut s'écrire comme $$E = N \frac{k\Theta}{2} + \frac{Nk\Theta}{\exp(\frac{\Theta}{T})-1}$$
   * Comment obtenir la chaleur spécifique et comparer avec les mesures ?
     * On a la chaleur spécifique à volume constant $C_V_{vib} = \left(\frac{\partial E}{\partial T} \right)_V$
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 On a bien sûr $dF = -SdT -pdV$,et $ = -\frac{\partial F}{\partial T} = k \log Z + kT \frac{\partial \log Z}{\partial T}$
 Donc $F = E - TS$, ou les différentes égalités suivantes :
-$$E = F + TS = kT^2 \frac{\partial \log Z}{\partial T} = \frac{kT^2}{Z} \frac{\partial Z}{\partial T} = - \frac{k}{Z} \frac{\partial Z}{\partial (1/T)}$$
+$$E = F + TS = kT^2 \frac{\partial \log Z}{\partial T} = - k \frac{\partial \log Z}{\partial (1/T)} = \frac{kT^2}{Z} \frac{\partial Z}{\partial T} = - \frac{k}{Z} \frac{\partial Z}{\partial (1/T)}$$
     * Retrouver l'expression de la chaleur spécifique de vibration
 $$Z_{Ivib} = \sum_{n=0}^{\infty} \exp(-(n+1/2)\frac{\Theta}{T} = \exp(-\Theta/2T) \sum_{n=0}^{\infty} \exp(-n\Theta/T)$$
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 Les opérateurs de sommation et de dérivée seconde peuvent être inversés , faisant apparaître la somme d'état :
 $$<E_{vib}^2> = \frac{(k \Theta)^2}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial (\Theta /T)^2}$$
+À ce stade, on connaît les expressions de $<E_{vib}^2>$ et de $<E_{vib}>^2$. Il apparaît intéressant d'effectuer cette dérivée :
+$$\frac{\partial}{\partial (\Theta /T)} \frac{(k \Theta)^2}{Z} \frac{\partial Z}{\partial (\Theta /T)} = - \frac{(k \Theta)^2}{Z^2} \left(\frac{\partial Z}{\partial (\Theta /T)}\right)^2 + \frac{(k \Theta)^2}{Z} \frac{\partial^2 Z}{\partial (\Theta /T)^2}$$
+Cette expression est exactement la variance $V = <E_{vib}^2> - <E_{vib}>^2$, et, étant donné que $<E_{vib}> = - \frac{k \Theta}{Z} \frac{\partial Z}{\partial (\Theta /T)}$, peut aussi s'écrire comme :
+$$-k \Theta \frac{\partial <E_{vib}>}{\partial (\Theta /T)} = -k \frac{\partial <E_{vib}>}{\partial (1/T)} = kT^2 \frac{\partial <E_{vib}>}{\partial T} = kT^2 C_V$$
+<note tip>À ce stade, on a finalement traité un seul vibrateur, mais on peut analyser l'influence de la taille (N) d'un système. La variance (ou $C_V$) sera multipliée par N. L'écart-type sera donc proportionnel à $\sqrt{N}$, et l'écart type relatif sera inversement proportionnel à $\sqrt{N}$.
+**Les fluctuations relatives de l'énergie d'un système thermodynamique qui peuvent être importantes pour un système donné de N particules seront donc réduites d'un facteur 10 si le nombre de particules est cent fois plus important. Cela explique qu'un système sera décrit correctement par la thermodynamique s'il comporte un nombre minimum de particules. Dix milles, un million sont des ordres de grandeurs d'une taille minimale.**
+</note>