Graphe d'une famille de polynômes orthogonaux

Voici un programme permettant de visualiser les premiers polynômes orthogonaux de Tchebyshev : <sxh python; title : polycheby.py> #!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- “”“graphes de Polynomes de Chebyschev ”“”

from math import * from pylab import *

def polyeval(x,a):

  """application de l'agorithme de Horner
  cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner
  """
  n=len(a)-1 # n = ordre du polynome
  p=0.
  for i in range(n,-1,-1):
      p=p*x+a[i]
  return p

def polyscal(s,a):

  """polynôme multiplié par un scalaire s """
  b=[]
  for coef in a:
      b.append(coef*s)
  return b    # on retourne les coefficients multipliés par s

def polyshift(a):

  """Multiplication du polynôme par la variable x"""
  b=[0]+a   # cela revient à "shifter" la liste des coefficients en insérant un 0 "à gauche"
  return b

def polyadd(a,b):

  """ Addition de deux polynômes de coefficients a et b
  """
  r=a[:] # on travaille sur une copie de a pour ne pas le modifier
  t=b[:] # idem pour b   
  g=[]   # polynôme somme
  n1=len(r) # ordre du premier polynôme
  n2=len(t) # ordre du second polynôme
  if n1>n2: # premier polynôme de plus haut degré que le second
      for i in range (n1-n2):
          t.append(0)
  elif n1<n2: # second polynôme de plus haut degré que le premier
       for i in range (n2-n1):
           r.append(0)
  # r et t ont à présent la même longueur
  for i in range (len(r)):
      g.append(r[i]+t[i])
  return g  # on retourne les coefficients additionnés dans la liste g

def polycheby(nmax):

  """Fonction générant les coefficients des polynômes de Tchebyshev jusqu'à l'ordre nmax
  cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev pour la formule de récurrence
  """
  rep=[[1.],[0.,1.]] # les deux premiers polynômes (degrés 0 et 1) pour l'application de la formule de récurrence
  if nmax < 1: # si nmax est inférieur au degré 1, on renvoie le polynôme de degré 0
      rep=[[1.]]
  if nmax > 1:  # pour le degré max supérieur à deux, on calcule les polynômes suivants
      for n in range(2,nmax+1): # P_n(x) = 2 x P_n-1(x) - P_n-2(x)
          rep.append(polyadd(polyscal(2.,polyshift(rep[n-1])),polyscal(-1.,rep[n-2])))
  return rep

# utilisation des objets numpy x=arange(-1.,1.00001,0.01) chebs=polycheby(10) # quelques premiers polynômes de Tchebyshev print chebs

# création des graphes de tous ces polynomes

for pol in chebs:

  print pol
  plot(x,polyeval(x,pol))

axis([-1,1,-1,1]) # xmin, xmax, ymin, ymax title('Polynomes de Tchebyshev') legend() show() </sxh>

On obtient cette figure :

À ce stade, il est utile de s'exercer avec d'autres familles de polynômes orthogonaux qui interviennent dans de nombreuses applications de la mécanique quantique.

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