Polynômes : fonctionnalités supplémentaires

Voici quelques fonctions utiles pour manipuler les polynômes :

Proposé et testé par RL, étudiant ba2 2012-2013.

derivation.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def polyderiv(a):
    """
    dérivation d'un polynôme
    """
    b = a[:]       #copie de la liste des coefficients du polynôme de départ
    n = len(b) -1  #ordre du polynôme
    for i in range (n+1):
        b[i] = b[i] * i  #on redéfinit chaque coefficient i de la liste par ce même coefficient*le degré
    b.pop(b[0])  #on supprime le premier élément de la liste (terme indépendant)
    return b

Proposition de AP, étudiant ba2 2012-2013 :

polyx.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def polyx(a):
    """
    polyx est un fonction qui multiplie un polynôme par x.
    Cela revient à rajouter un 0 à gauche de la liste passée en argument de la fonction (a).
    """
    b = [0]               #Nouvelle liste dont le premier terme vaut 0.
    for coef in range(len(a)):    #Pour tout les coefficients de la liste a de degré n, on ajoute la liste b
        b.append(a[coef])
    return b

Les listes pouvant être concaténées, on peut écrire cela plus simplement encore :

polyshift.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
def polyshift (a):
    """
    Multiplication du polynôme par la variable x
    """
    b = [0] + a   # cela revient à "shifter" la liste des coefficients en insérant un 0 "à gauche"
    return b

Sur base de la proposition de RL, étudiant ba2 2012-2013 :

polyintegr.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
def polyintegr(a):
    """
    intégration d'un polynôme
    """
    b = [0]  #on indique un coefficient indépendant nul en début de la liste (constante d'intégration nulle)
    n = len(a)  #ordre du polynôme après intégration == ordre du polynôme avant intégration +1
    for i in range (n):  # on balaie sur toutes les puissances i successives
        b.append(a[i]/(i+1)) #le coefficient du terme correspondant après intégration est ajouté
    return b

Proposition de BF, étudiant ba2 2012-2013, complétée par des commentaires et une application sur des puissances d'un binôme générant les coefficients du triangle de Pascal :

polymult_BF.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
def polymult_BF(a,b):
    n = len(a)-1  # degré du polynôme a
    m = len(b)-1  # degré du polynôme b
    p = n + m  # degré du polynôme c = a * b
    c = [] # on va créer tous les coefficients du polynôme c, initialisés à 0 :
    while(len(c)<p+1):
        c.append(0)
    for k in range(p+1):            # pour toutes les puissances du polynôme c
        for i in range(len(a)):     # on considère tous les termes de a
            for j in range(len(b)): # on considère tous les termes de b
                if k == (i + j):    # si les degrés combinés valent k, on met à jour le coefficient k :
                    c[k] = c[k] + (a[i] * b[j])
    return c
 
x = [1, 1]
prod = [1, 1]
for i in range(10):
    prod = polymult_BF(x,prod)
    print(prod)

OK, cela fonctionne, mais il semble possible d'économiser des opérations. Multiplier un polynômes de degré n par un autre de degré m devrait pouvoir se faire en n*m étapes. Or, il y a 3 structures de répétitions imbriquées, donc n*m*(n+m) étapes ! De plus, on ne tire pas vraiment parti de l'initialisation du polynôme c, puisque ses coefficients sont créés dans l'ordre.

Voici une modification permettant d'en tirer parti, supprimant le balayage des puissances de c, le test, et quelques autres éléments inutiles :

polymult.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
def polymult(a,b):
    n = len(a) - 1           # degré du polynôme a
    m = len(b) - 1           # degré du polynôme b
    p = n + m                # degré du polynôme c = a * b
    c = []                   # on va créer tous les coefficients du polynôme c, initialisés à 0 :
    for k in range(p+1):
        c.append(0)
    for i in range(n+1):     # on considère tous les termes de a
        for j in range(m+1): # on considère tous les termes de b
            c[i+j] += a[i] * b[j]  # on incrémente le coefficient de degré k :
    return c
 
x = [1, 1]
prod = [1, 1]
for i in range(10):
    prod = polymult(x,prod)
    print(prod)

Proposition de GH, étudiant ba2 2012-2013, complétée par des commentaires. La fonction nécessite d'autres fonctions vues précédemment, qui sont reprises dans le code du programme :

polylegendre.py

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
def polylegendre(nmax):
    """
    Fonction générant les coefficients des polynômes de Legendre jusqu'à l'ordre nmax
    cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Legendre pour la formule de récurrence
    """
    rep = [[1.], [0.,1.]] # les deux premiers polynômes (degrés 0 et 1) pour l'application de la formule de récurrence
    if nmax < 1: # si nmax est inférieur au degré 1, on renvoie le polynôme de degré 0
        rep = [[1.]]
    if nmax > 1:  # pour le degré max supérieur à deux, on calcule les polynômes suivants
        for n in range(2,nmax+1):     # P_n(x) = (2n-1)/n x P_n-1(x) + (1-n)/n P_n-2(x)
            rep.append(polyadd(polyscal((2*n-1.)/n,polyshift(rep[n-1])),polyscal((1.-n)/n,rep[n-2])))
    return rep
 
def polyscal(s,a):
    """
    polynôme multiplié par un scalaire s """
    b = []
    for coef in a:
        b.append(coef*s)
    return b    # on retourne les coefficients multipliés par s
 
def polyshift(a):
    """
    Multiplication du polynôme par la variable x"""
    b = [0] + a   # cela revient à "shifter" la liste des coefficients en insérant un 0 "à gauche"
    return b
 
def polyadd(a,b):
    """
    Addition de deux polynômes de coefficients a et b
    """
    r = a[:] # on travaille sur une copie de a pour ne pas le modifier
    t = b[:] # idem pour b   
    g = []   # polynôme somme
    n1 = len(r) # ordre du premier polynôme
    n2 = len(t) # ordre du second polynôme
    if n1 > n2: # premier polynôme de plus haut degré que le second
        for i in range (n1-n2):
            t.append(0)
    elif n1 < n2: # second polynôme de plus haut degré que le premier
         for i in range (n2-n1):
             r.append(0)
    # r et t ont à présent la même longueur
    for i in range (len(r)):
        g.append(r[i]+t[i])
    return g  # on retourne les coefficients additionnés dans la liste g
 
# test de la fonction générant les polynômes de Legendre :
for  k in range(6): # on teste la fonction sur des ordres croissants
    print(polylegendre(k)[k])  # on imprime juste les coefficients du polynôme de plus haut ordre !

Reste à créer un graphe...