teaching:progappchim:algos_entiers

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 Explication géométrique : en comprenant un nombre entier comme une longueur et un couple d'entiers (a,b) comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle. L'algorithme d'Euclide décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un reste nul (**observez bien [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d%27Euclide#Explications_g.C3.A9om.C3.A9triques|ici]] !**). Explication géométrique : en comprenant un nombre entier comme une longueur et un couple d'entiers (a,b) comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle. L'algorithme d'Euclide décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un reste nul (**observez bien [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d%27Euclide#Explications_g.C3.A9om.C3.A9triques|ici]] !**).
 Cela donne ceci en Python : Cela donne ceci en Python :
-<sxh python; title : pgcd.py>+<code python pgcd.py>
 #!/usr/bin/env python #!/usr/bin/env python
 # -*- coding: UTF-8 -*- # -*- coding: UTF-8 -*-
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 n1=210 n1=210
 n2=126 n2=126
-print gcd(n1, n2) +print(gcd(n1, n2)
-</sxh>+</code>
  
 Si on dispose des décompositions en facteurs premiers d'un nombre entier, on peut aussi établir la valeur du PGCD en effectuant le produit de tous les facteurs communs. Si on dispose des décompositions en facteurs premiers d'un nombre entier, on peut aussi établir la valeur du PGCD en effectuant le produit de tous les facteurs communs.
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 Pour lister les nombres premiers strictement inférieur à un nombre N donné, un algorithme naïf (appelés tests de primalité) consiste à considérer les naturels un par un, en essayant de le diviser par tous les nombres inférieurs à sa racine carrée : s'il est divisible par l'un d'entre eux, il est composé, et sinon, il est premier. Voici une implémentation en Python de cette idée. Pour lister les nombres premiers strictement inférieur à un nombre N donné, un algorithme naïf (appelés tests de primalité) consiste à considérer les naturels un par un, en essayant de le diviser par tous les nombres inférieurs à sa racine carrée : s'il est divisible par l'un d'entre eux, il est composé, et sinon, il est premier. Voici une implémentation en Python de cette idée.
  
-<sxh python; title : nombres_premiers-01.py>+<code python nombres_premiers-01.py>
 #!/usr/bin/env python #!/usr/bin/env python
 # -*- coding: UTF-8 -*- # -*- coding: UTF-8 -*-
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 p=primelist(1000) p=primelist(1000)
-print p +print(p) 
-</sxh>+</code>
  
 L'algorithme peut être rendu plus efficace : il suggère beaucoup de divisions inutiles, par exemple, si un nombre n'est pas divisible par 2, il est inutile de tester s'il est divisible par 4. En fait, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée. Le crible d'Ératosthène est une méthode, reposant sur cette idée, qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N. En supprimant tous les multiples, à la fin il ne restera que les entiers qui ne sont multiples d'aucun entier, et qui sont donc les nombres premiers. Voici une implémentation en Python du crible d'Ératosthène : L'algorithme peut être rendu plus efficace : il suggère beaucoup de divisions inutiles, par exemple, si un nombre n'est pas divisible par 2, il est inutile de tester s'il est divisible par 4. En fait, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée. Le crible d'Ératosthène est une méthode, reposant sur cette idée, qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N. En supprimant tous les multiples, à la fin il ne restera que les entiers qui ne sont multiples d'aucun entier, et qui sont donc les nombres premiers. Voici une implémentation en Python du crible d'Ératosthène :
  
-<sxh python; title : nombres_premiers-03.py>+<code python nombres_premiers-03.py>
 #!/usr/bin/env python #!/usr/bin/env python
 # -*- coding: UTF-8 -*- # -*- coding: UTF-8 -*-
Ligne 84: Ligne 84:
    
 p=primelist(1000) p=primelist(1000)
-print p +print(p) 
-</sxh>+</code>
  
 ==== Références ==== ==== Références ====
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   * [[http://openclassrooms.com/forum/sujet/crible-d-eratosthene-87347]]   * [[http://openclassrooms.com/forum/sujet/crible-d-eratosthene-87347]]
   * [[http://gumuz.nl/weblog/python-extended-slice-assignment/|Explication de l'affectation multiple via des slices]]   * [[http://gumuz.nl/weblog/python-extended-slice-assignment/|Explication de l'affectation multiple via des slices]]
 +  * [[wp>fr:Nombre_premier_tronquable|Nombre premier tronquable]]
 +    * [[https://www.geeksforgeeks.org/left-truncatable-prime/]]
 +    * [[https://rosettacode.org/wiki/Find_largest_left_truncatable_prime_in_a_given_base#Python]]
 +    * [[https://tutorialspoint.dev/algorithm/mathematical-algorithms/left-truncatable-prime]]
 ===== Factorisation en nombres premiers ===== ===== Factorisation en nombres premiers =====
  
 Version élémentaires, par essais systématiques de diviseurs : Version élémentaires, par essais systématiques de diviseurs :
  
-<sxh python; title : factorisation_nombres_premiers-01.py>+<code python; title : factorisation_nombres_premiers-01.py>
 #!/usr/bin/env python #!/usr/bin/env python
 # -*- coding: UTF-8 -*- # -*- coding: UTF-8 -*-
Ligne 121: Ligne 125:
  
 p=prime_factors(1234567890) p=prime_factors(1234567890)
-print p +print(p) 
-</sxh>+</code>
  
 Exercices :  Exercices : 
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   * utiliser la décomposition en facteurs premiers de deux nombres (ou plus) pour trouver leur PGCD : pour l'ensemble des facteurs communs aux nombres, il s'agit du produit de ces facteurs élevés à la puissance la plus basse dans les décompositions   * utiliser la décomposition en facteurs premiers de deux nombres (ou plus) pour trouver leur PGCD : pour l'ensemble des facteurs communs aux nombres, il s'agit du produit de ces facteurs élevés à la puissance la plus basse dans les décompositions
  
 +Techniques avancées :
 +  * [[wp>Integer_factorization|Integer factorization]]
 +  * [[https://stackoverflow.com/questions/4643647/fast-prime-factorization-module|Fast prime factorization module]] (stackoverflow)
 +  * librairie sympy → pip install sympy (ou conda install sympy)
 +    * Use the function sympy.ntheory.factorint : "Given a positive integer n, factorint(n) returns a dict containing the prime factors of n as keys and their respective multiplicities as values." For example:
 +<code python>
 +from sympy.ntheory import factorint
 +factorint(10**20+1) → {73: 1, 5964848081: 1, 1676321: 1, 137: 1}
 +</code>
  
 ===== Références ===== ===== Références =====
Ligne 139: Ligne 152:
   * [[http://anh.cs.luc.edu/331/code/factoring.py]] (intéressant)   * [[http://anh.cs.luc.edu/331/code/factoring.py]] (intéressant)
   * [[http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_factorization]]   * [[http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_factorization]]
 +  * [[https://github.com/grinsted/teachprimes|Some code to for teaching primes]] (génération de figures pour enseigner les nombres premiers)
 +
 +
 ===== Recherche du PPCM ===== ===== Recherche du PPCM =====
 Explication de la relation entre PGCD et PPCM via les facteurs premiers des nombres  (//cf.// [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple|wikipedia]]) : le PPCM de deux nombres est obtenu par le produit de chacun des facteurs premiers dans la décomposition des deux nombres, élevés à la puissance la plus haute dans ces décompositions. On a alors que le produit des deux nombres équivaut au produit du PGCD par le PPCM et dès lors : PPCM(a,b) = a * b / PGCD(a,b) ! Explication de la relation entre PGCD et PPCM via les facteurs premiers des nombres  (//cf.// [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple|wikipedia]]) : le PPCM de deux nombres est obtenu par le produit de chacun des facteurs premiers dans la décomposition des deux nombres, élevés à la puissance la plus haute dans ces décompositions. On a alors que le produit des deux nombres équivaut au produit du PGCD par le PPCM et dès lors : PPCM(a,b) = a * b / PGCD(a,b) !
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 donnée. En voici une solution : donnée. En voici une solution :
  
-<sxh python; title : aperitif_initial-02.py>+<code python; title : aperitif_initial-02.py>
 #!/usr/bin/env python #!/usr/bin/env python
 # -*- coding: utf-8 -*- # -*- coding: utf-8 -*-
Ligne 201: Ligne 217:
 # atomes=atomes[::-1] # atomes=atomes[::-1]
 masse=59 masse=59
-print atomes,type(atomes) +print(atomes,type(atomes)
-print masse, type(masse) +print(masse, type(masse)
-print aperitif(masse, atomes) +print(aperitif(masse, atomes)
-</sxh>+</code>
  
  
Ligne 231: Ligne 247:
   * [[http://codereview.stackexchange.com/questions/20569/dynamic-programming-solution-to-knapsack-problem|codereview.stackexchange.com]], programmation dynamique   * [[http://codereview.stackexchange.com/questions/20569/dynamic-programming-solution-to-knapsack-problem|codereview.stackexchange.com]], programmation dynamique
   * [[http://www.markhneedham.com/blog/2013/01/07/knapsack-problem-python-vs-ruby/]]   * [[http://www.markhneedham.com/blog/2013/01/07/knapsack-problem-python-vs-ruby/]]
 +  * [[https://medium.freecodecamp.org/if-you-have-slow-loops-in-python-you-can-fix-it-until-you-cant-3a39e03b6f35|If you have slow loops in Python, you can fix it…until you can’t]] (knapsack problem)
  
   * [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_du_sac_%C3%A0_dos]]   * [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_du_sac_%C3%A0_dos]]
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  • Dernière modification : 2015/04/20 10:04
  • de villersd