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Plus ça rate, plus on a de chances que ça marche
Exercice basé sur cette devise “Shadoks”, et pas seulement :
Questions
- Combien d'essais seront-ils nécessaires, en moyenne, pour obtenir une réussite, si la probabilité élémentaire de réussite pour un essai vaut $p$ ?
- Caractériser la distribution ?
- Simuler pour vérifier, représenter la distribution ?
- Application aux jeux de hasard (source : lotterie nationale) : soit un joueur décidant de miser 10 EUR par semaine (8 grilles) dans l'espoir de gagner le gros lot afin de finir ses jours sur une île paradisiaque. Statistiquement, combien de tirages seront nécessaires pour atteindre son objectif ? Quelle somme aura-t-il misé au total ?
Solution
Au premier essai, il existe une probabilité $p$ de réussite. En cas d'échec, on passe au second essai avec une probabilité de $q = 1-p$, et ce second essai a lui même une probabilité $p$ de réussite. On aura donc la distribution suivante pour les probabilités en fonction du nombre d'essais :
| Nombre d'essais | Probabilité |
|---|---|
| 1 | p |
| 2 | $(1-p) p$ |
| 3 | $(1-p)^2 p$ |
| 4 | $(1-p)^3 p$ |
| 5 | $(1-p)^4 p$ |
| … | … |
| i | $(1-p)^{i-1} p$ |
| … | … |
Pour le calcul de la moyenne du nombre d'essais, cette probabilité $(1-p) p$ doit être multipliée par 2. En poursuivant le raisonnement, on obtient pour la moyenne m :
$$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$
On peut mettre $p$ en évidence, et utiliser $q = 1-p$ :
$$m = p (1 + 2 q + 3 q^2 + 4 q^3 + 5 q^4 + ...$$
On remarque que la parenthèse peut s'exprimer comme une dérivée par rapport à $q$ :
$$m = p \frac{d}{dq} ( q + q^2 + q^3 + q^4 + ...)$$
On peut remplacer la série géométrique de raison $q$, donc :
$$m = p \frac{d}{dq} \frac{q}{1-q} = 1/p$$
Il est intéressant de vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
: compléter avec une simulation,…