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 ===== Solution ===== ===== Solution =====
-Au premier essai, il existe une probabilité $p$ de réussite. En cas d'échec, on passe au second essai avec une probabilité de $q = 1-p$, et ce second essai a lui même une probabilité $p$ de réussite. Pour le calcul de la moyenne du nombre d'essais, cette probabilité $(1-p) p$ doit être multipliée par 2. En poursuivant le raisonnement, on obtient pour la moyenne m :+Au premier essai, il existe une probabilité $p$ de réussite. En cas d'échec, on passe au second essai avec une probabilité de $q = 1-p$, et ce second essai a lui même une probabilité $p$ de réussite. On aura donc la distribution suivante pour les probabilités en fonction du nombre d'essais : 
 +^  Nombre d'essais  ^  Probabilité 
 +|  1  |  p  | 
 +|  2  |  $(1-p) p$  | 
 +|  3  |  $(1-p)^2 p$  | 
 +|  4  |  $(1-p)^3 p$  | 
 +|  5  |  $(1-p)^4 p$  | 
 +|  ...  |  ...  | 
 +|  i  |  $(1-p)^{i-1} p$  | 
 +|  ...  |  ...  | 
 + 
 + 
 + 
 +Pour le calcul de la moyenne du nombre d'essais, cette probabilité $(1-p) p$ doit être multipliée par 2. En poursuivant le raisonnement, on obtient pour la moyenne m :
  
 $$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$ $$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$
Ligne 30: Ligne 43:
 On peut remplacer la série géométrique de raison $q$, donc : On peut remplacer la série géométrique de raison $q$, donc :
  
-$$m = p \frac{d}{dq} \frac{q}{1-q}$$ = 1/p$$+$$m = p \frac{d}{dq} \frac{q}{1-q} = 1/p$$ 
 + 
 +Il est intéressant de vérifier que la somme des probabilités vaut 1. 
 + 
 +FIXME : compléter avec une simulation,... 
 + 
 + 
 +===== Vidéo ===== 
 + 
 +{{ youtube>zq9Oz82iHf0 }} 
 + 
 +  * An Introduction to the Geometric Distribution, par [[https://www.youtube.com/channel/UCiHi6xXLzi9FMr9B0zgoHqA|jbstatistics]] : «  I discuss the underlying assumptions that result in a geometric distribution, the formula, and the mean and variance of the distribution. I work through an example of the calculations and then discuss the cumulative distribution function. » 
 + 
 +===== Références ===== 
 +  * [[wp>fr:Loi_géométrique|Loi géométrique]] sur wikipedia 
 +  * [[https://fr.wikiversity.org/wiki/Variables_al%C3%A9atoires_discr%C3%A8tes/Loi_g%C3%A9om%C3%A9trique|Variables aléatoires discrètes : Loi géométrique]] sur wikiversité 
 + 
 +{{url>https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_g%C3%A9om%C3%A9trique 900px,1200px}}
  
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