PhysicoChimie II (exercices)

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Bachelier en sciences chimiques, troisième année, 30 H exercices du cours (titulaire du cours : P. Damman).

Épreuve ou expérience aléatoire : processus dont le résultat est incertain (tirage au hasard , jets de dès,…)
Évènement : ensemble de résultats d'une épreuve aléatoire
- Évènement élémentaire ou simple : événement constitué d'un seul élément (e.g. avoir un 6 pour le lancer d'un seul dé)
- Évènement composé : union de plusieurs évènements élémentaires (e.g. avoir un multiple de 3 lors du lancer d'un seul dé ou de plusieurs dés)
- Évènement certain : union de tous les évènements élémentaires. Sa probabilité vaudra 1
- Évènement impossible : ensemble vide d'évènement {} dont la probabilité sera nulle
- Événements incompatibles : 2 événements sont incompatibles si et seulement si leur réalisation simultanée est impossible
- Événements compatibles : événements dont la réalisation simultanée est possible
- Événements indépendants : évènements tels que la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre
  - Deux événements incompatibles, de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants
Espace des observables $\Omega$ : ensemble de tous les évènements élémentaires d'une expérience aléatoire (e.g. {1,2,3,4,5,6} pour le lancer d'un seul dé)
Probabilité : quantification du caractère probable d'un évènement, nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque, ou la chance, que l'événement se produise est grand.
- À tout événement élémentaire, $E_i$ correspond une probabilité d'obtenir cet événement, $p(E_i)$
  - $0<p(E_i) < 1$
  - $p(E_i \ ou \ E_j) = p(E_i) + p(E_j) $
  - $\sum_{E_i} p(E_i) =p(\Omega) = 1$
Évènements équiprobables : évènements élémentaires ou composés, dont la probabilité est strictement équivalente
Théorie des ensembles et logique booléenne (dans le cadre des probabilités élémentaires). Soient $A$ et $B$ deux évènements a priori composés d'un ensemble d'évènements élémentaires. On aura :
- si $A=\Omega$ alors $p(A)=1$ : évènement certain
- si $A=\left\{\right\}$ alors $p(A)=0$ : évènement impossible (ex. faire 0 au dé)
- si $A \subset B$ ou en écriture logique $A \Rightarrow B$ , alors $p(A) \le p(B)$ e.g.faire 2 implique un nombre pair
- Loi de multiplication $A \cap B$ (ET) :
  - $A$ et $B$ sont incompatibles alors $A \cap B = 0$ et $p(A \cap B)=0$ : faire un 2 ET un nombre impair
  - $A$ et $B$ sont indépendants alors $p(A \cap B)=p(A) p(B)$ : tirer une dame de coeur dans un jeu de 52 cartes = obtenir une dame ET avoir la couleur coeur, donc $p=1/13 \ 1/4= 1/52$
- Loi d'addition $A \cup B$ (OU) : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
  - e.g. avoir un nombre pair ou un multiple de 3, réponse: 2, 4, 6 et 3 ($p = 4/6$). En terme de probabilités : $p = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3$)
  - Attention! si $A$ et $B$ sont incompatibles $A \cap B =0$ et $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$}
Définition expérimentale de la probabilité d'un événement :
- Si on réalise $N$ évènements indépendants lors d'une expérience (e.g. pile ou face), et si on observe $n_i$ résultats du type $E_i$, alors $p(E_i) = \lim_{N \rightarrow \infty} {n_i \over N}$ (N.B. : cela peut-être testé facilement par des expériences “pile ou face')

\begin{eqnarray*} (x + y)^{n+1} &=& (x+y) \ \sum_{p=0}^n C_n^p \ x^p \ y^{n-p}\\ &=& x^{n+1} + x \sum_{p=0}^{n-1} C_n^p \ x^p \ y^{n-p} + y^{n+1} + y \sum_{p=1}^n C_n^p \ x^p \ y^{n-p}\\ &=& x^{n+1} + y^{n+1} + \sum_{p=1}^n \left[ C_n^p + C_n^{p-1}\right] \ x^p \ y^{n-p+1} \\ &=& x^{n+1} + y^{n+1} + \sum_{p=1}^n C_{n+1}^p \ x^p \ y^{n+1-p} \\ &=& \sum_{p=0}^{n+1} C_{n+1}^p \ x^p \ y^{n+1-p} \end{eqnarray*}