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teaching:exos:physicochimie2-exercices [2013/10/31 12:31] – villersd | teaching:exos:physicochimie2-exercices [2014/08/29 10:04] – [Exercices de base] villersd |
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\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} |
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===== Variable aléatoire et distributions ===== | ==== Variable aléatoire et distributions ==== |
* **Variable aléatoire** : une variable aléatoire $X$ est définie sur l'espace des observables (espace des événements possibles). À chaque valeur possible $x$ correspond une probabilité $P(x)$ que $X$ soit égale à $x$ | * **Variable aléatoire** : une variable aléatoire $X$ est définie sur l'espace des observables (espace des événements possibles). À chaque valeur possible $x$ correspond une probabilité $P(x)$ que $X$ soit égale à $x$ |
* Variable aléatoire discrète : si $x_1, x_2, x_3, ...$ constitue l'ensemble discret des valeurs possibles de $X$, les $P(x_i)$ forment la distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ | * Variable aléatoire discrète : si $x_1, x_2, x_3, ...$ constitue l'ensemble discret des valeurs possibles de $X$, les $P(x_i)$ forment la **distribution de probabilité** de la variable aléatoire $X$ |
* Variable aléatoire continue : si $x$ peut varier continûment, $P(x)$ est la densité de probabilité que la variable prenne une valeur comprise entre $x$ et $x+dx$. L'unité de $P(x)$ est donc en inverse de celle de l'espace des $x$ et seul $P(x) dx$ a la dimension d'une probabilité (nombre) : $P(x) dx = P(x \le X < x+dx)$ | * Variable aléatoire continue : si $x$ peut varier continûment, $P(x)$ est la densité de probabilité que la variable prenne une valeur comprise entre $x$ et $x+dx$. L'unité de $P(x)$ est donc en inverse de celle de l'espace des $x$ et seul $P(x) dx$ a la dimension d'une probabilité (nombre) : $P(x) dx = P(x \le X < x+dx)$ |
* Positivité : | * Positivité : |
* $\sum_{x_i} P(x_i) =1$ (variable aléatoire discrète) | * $\sum_{x_i} P(x_i) =1$ (variable aléatoire discrète) |
* $\int_{\Omega} P(x) dx = 1$ (variable aléatoire continue) | * $\int_{\Omega} P(x) dx = 1$ (variable aléatoire continue) |
* **Distributions de probabilité** | * Toute l'information sur une expérience est contenue dans la distribution $P(x)$} |
| * Une description **équivalente** est donnée par l'ensemble de toutes les grandeurs caractéristiques appelées {\bf moments de la distribution} : |
| * $<X^n> = \sum_i x_i^n P(x_i)$ (variable aléatoire discrète, avec n fini) |
| * $<X^n> = \int_{\Omega} x^n P(x) dx$ (variable aléatoire continue, avec n infini) |
| * Une description **simplifiée** est obtenue en ne tenant compte que de quelques plus petites valeurs de n : |
| * Premier moment: moyenne $<X>$ (ou [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique|espérance mathématique]]) |
| * Second moment: largeur de la distribution ([[http://fr.wikipedia.org/wiki/Variance_%28statistiques_et_probabilit%C3%A9s%29|variance]] $\sigma^2$) |
| * Troisième moment : asymétrie ([[http://fr.wikipedia.org/wiki/Skewness|skewness]]) |
| * Quatrième moment : aplatissement ([[http://fr.wikipedia.org/wiki/Kurtosis|kurtosis]]) |
| * ... |
| * Les deux premiers moments |
| * **Valeur moyenne ou espérance** |
| * $<X> = \sum_i x_i \ P(x_i)$ ou $<X> = \int_{{\Omega}} x \ P(x) dx$ avec ${\Omega}$ le volume de l'espace des phases/observables |
| * **Variance** |
| * La variance $Var(X)$ ou $\sigma^2$ caractérise la largeur de la distribution (ou l'écart à la moyenne) : $\sigma^2 = <(X - <X>)^2> = <X^2> - <X>^2$. La racine carrée est l'écart type, $\sigma$. |
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===== Exercices ===== | |
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==== Exercices de base ==== | ==== Exercices de base ==== |
* [[teaching:exos:lancers_consecutifs_de|Lancers consécutifs d'un dé]] | * [[teaching:exos:lancers_consecutifs_de|Lancers consécutifs d'un dé]] |
* [[teaching:exos:lancer_des|Lancers de plusieurs dés]] | * [[teaching:exos:lancer_des|Lancers de plusieurs dés]] |
| * [[teaching:exos:moyennes_vehicules|Moyennes concernant des déplacements de véhicules]] |
| * [[teaching:exos:interactions_atomes|Dénombrement d'interactions entre atomes]] |
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* [[teaching:exos:random_walk-1D-many_steps-unsymetric|Marche aléatoire asymétrique à 1D]] (grand nombre de pas) | * [[teaching:exos:random_walk-1D-many_steps-unsymetric|Marche aléatoire asymétrique à 1D]] (grand nombre de pas) |
* [[teaching:exos:production_flacons_defauts|Production de flacons : statistiques sur les défauts]] | * [[teaching:exos:production_flacons_defauts|Production de flacons : statistiques sur les défauts]] |
| * [[teaching:exos:simulations_random_walks|Simulations numériques de marches aléatoires]] (en Python) |
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==== Exercices inédits ==== | ==== Exercices inédits ==== |
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===== Thermodynamique statistique ===== | ===== Thermodynamique statistique ===== |
| * [[teaching:exos:entropie_configurationelle_simple|Exercices simples sur l'entropie configurationelle]] |
| * [[teaching:exos:entropie_gaz_rares_alcalins|Entropie gazeuse d'alcalins et de gaz rares]] |
| * [[cv_vibration_einstein|Comparaison microcanonique-canonique, vibrateurs et cristal d'Einstein]] |
| * [[rotation_molecules_biatomiques|Rotation de molécules biatomiques]] |
| * [[rotation_vibration_molecules_biatomiques|Spectres de rotation-vibration de molécules biatomiques]] |
| * [[photons|Gaz de photons]] |
| * [[electrons|Gaz d'électrons]] |
| * [[gaz_imparfait|Gaz imparfait]] |
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===== Références diverses ===== | ===== Références diverses ===== |
* [[http://fr.wikibooks.org/wiki/Approfondissements_de_lyc%C3%A9e/Probabilit%C3%A9_discr%C3%A8te|Approfondissements de lycée en mathématiques, probabilités discrètes]] (wikibooks) | * [[http://fr.wikibooks.org/wiki/Approfondissements_de_lyc%C3%A9e/Probabilit%C3%A9_discr%C3%A8te|Approfondissements de lycée en mathématiques, probabilités discrètes]] (wikibooks) |
* [[http://www.science4all.org/le-nguyen-hoang/the-amazing-physics-of-water-in-trees/|La physique de l'eau dans les arbres]] (yc vidéo) | * [[http://www.science4all.org/le-nguyen-hoang/the-amazing-physics-of-water-in-trees/|La physique de l'eau dans les arbres]] (yc vidéo) |
| * [[http://personal.rhul.ac.uk/uhap/027/PH4211/|Cours de B. Cowan]] |