On considère un réseau unidimensionnel caractérisé par des sites distants de a. Un atome transite d'un site à un voisin chaque τ secondes. Les probabilités sont p (transitions vers la droite) et q = 1 - p (transitions vers la gauche).
Calculer la position moyenne <x> de l'atome au temps t = Nτ (avec N » 1)
Calculer à ce temps t la variance sur la position
Suggestions :
effectuer le calcul en suivant la définition d'une moyenne, de la variance, pour N étapes, en utilisant des dérivées par rapport à la probabilité p pour refaire apparaître des coefficients binomiaux dans les sommes. Cette technique de calcul est régulièrement utilisée dans des calculs de thermodynamique statistique.
Effectuer le calcul pour un seul temps élémentaire, et considérer l'hypothèse aléatoire (pas de mémoire) pour
exprimer la moyenne et la variance pour un grand nombre de pas
* Vérifier la correspondance à une distribution normale suivant les valeurs de N et p