Exercice basé sur cette devise “Shadoks”, et pas seulement :
Au premier essai, il existe une probabilité $p$ de réussite. En cas d'échec, on passe au second essai avec une probabilité de $q = 1-p$, et ce second essai a lui même une probabilité $p$ de réussite. On aura donc la distribution suivante pour les probabilités en fonction du nombre d'essais :
Nombre d'essais | Probabilité |
---|---|
1 | p |
2 | $(1-p) p$ |
3 | $(1-p)^2 p$ |
4 | $(1-p)^3 p$ |
5 | $(1-p)^4 p$ |
… | … |
i | $(1-p)^{i-1} p$ |
… | … |
Pour le calcul de la moyenne du nombre d'essais, cette probabilité $(1-p) p$ doit être multipliée par 2. En poursuivant le raisonnement, on obtient pour la moyenne m :
$$m = 1 p + 2 (1-p) p + 3 (1-p)^2 p + 4 (1-p)^3 p + 5 (1-p)^4 p + ...$$
On peut mettre $p$ en évidence, et utiliser $q = 1-p$ :
$$m = p (1 + 2 q + 3 q^2 + 4 q^3 + 5 q^4 + ...$$
On remarque que la parenthèse peut s'exprimer comme une dérivée par rapport à $q$ :
$$m = p \frac{d}{dq} ( q + q^2 + q^3 + q^4 + ...)$$
On peut remplacer la série géométrique de raison $q$, donc :
$$m = p \frac{d}{dq} \frac{q}{1-q} = 1/p$$
Il est intéressant de vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
: compléter avec une simulation,…