====== Graphe d'une famille de polynômes orthogonaux ======
Voici un programme permettant de visualiser les premiers [[wp>fr:Polynôme_de_Tchebychev|polynômes orthogonaux de Tchebyshev]] :
<code python polycheby.py>
#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
graphes de Polynomes de Chebyschev
"""

from math import *
from pylab import *

def polyeval(x,a):
    """
    application de l'algorithme de Horner
    cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner
    """
    n = len(a)-1 # n = ordre du polynome
    p = 0.
    for i in range(n,-1,-1):
        p = p * x + a[i]
    return p

def polyscal(s,a):
    """
    polynôme multiplié par un scalaire s
    """
    b = []
    for coef in a:
        b.append(coef*s)
    return b    # on retourne les coefficients multipliés par s

def polyshift(a):
    """
    Multiplication du polynôme par la variable x
    """
    b = [0] + a   # cela revient à "shifter" la liste des coefficients en insérant un 0 "à gauche"
    return b

def polyadd(a,b):
    """
    Addition de deux polynômes de coefficients a et b
    """
    r = a[:] # on travaille sur une copie de a pour ne pas le modifier
    t = b[:] # idem pour b   
    g = []   # polynôme somme
    n1 = len(r) # ordre du premier polynôme
    n2 = len(t) # ordre du second polynôme
    if n1 > n2: # premier polynôme de plus haut degré que le second
        for i in range (n1-n2):
            t.append(0)
    elif n1 < n2: # second polynôme de plus haut degré que le premier
         for i in range (n2-n1):
             r.append(0)
    # r et t ont à présent la même longueur
    for i in range (len(r)):
        g.append(r[i]+t[i])
    return g  # on retourne les coefficients additionnés dans la liste g

def polycheby(nmax):
    """
    Fonction générant les coefficients des polynômes de Tchebyshev jusqu'à l'ordre nmax
    cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev pour la formule de récurrence
    """
    rep = [[1.], [0.,1.]] # les deux premiers polynômes (degrés 0 et 1) pour l'application de la formule de récurrence
    if nmax < 1: # si nmax est inférieur au degré 1, on renvoie le polynôme de degré 0
        rep=[[1.]]
    if nmax > 1:  # pour le degré max supérieur à deux, on calcule les polynômes suivants
        for n in range(2,nmax+1): # P_n(x) = 2 x P_n-1(x) - P_n-2(x)
            rep.append(polyadd(polyscal(2.,polyshift(rep[n-1])),polyscal(-1.,rep[n-2])))
    return rep

# utilisation des objets numpy
x = arange(-1.,1.00001,0.01)
chebs = polycheby(10)   # quelques premiers polynômes de Tchebyshev
print(chebs)

# création des graphes de tous ces polynomes

for pol in chebs:
    print(pol)
    plot(x,polyeval(x,pol))

axis([-1,1,-1,1]) # xmin, xmax, ymin, ymax   
title('Polynomes de Tchebyshev')
legend()
show()
</code>

On obtient cette figure :{{:teaching:progappchim:cheby-10.png?direct&100|Cliquez pour voir en pleine page}}

À ce stade, il est utile de s'exercer avec d'autres [[wp>Classical_orthogonal_polynomials|familles de polynômes orthogonaux]] qui interviennent dans de nombreuses applications de la mécanique quantique.

De plus, des modules de calcul scientifique utilisant les familles classiques de polynômes orthogonaux existent dans [[http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.polynomials.package.html|NumPy]]. Leur mise en œuvre nécessite simplement l'étude de la documentation et d'exemples.

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