====== Gaz d'électrons ======

===== Rappels de théorie =====
  * Ensemble grand canonique : variables, somme d'état, probabilités,...
  * Relations avec la thermodynamique
  * Électrons et statistique de Fermi-Dirac
  * ...


===== Gaz bidimensionnel : le graphite =====

Dans le graphite, les atomes sont situés dans des plans parallèles et des électrons des orbitales π peuvent être considérés comme délocalisés et formant un gaz d'électrons bidimensionnel.  La longueur de la liaison C-C vaut 0.142 nm.

==== Géométrie et densité surfacique des électrons libres ====
  * Schématiser un plan atomique du graphite
  * Établir la valeur d'une surface élémentaire
  * Dénombrer par unité de surface élémentaire les électrons π délocalisés formant le gaz d'électrons libres bidimensionnel
  * Déduire la densité surfacique

==== Solutions de l'équation de Schrödinger ====
  * Écrire l'équation pour une particule libre se déplaçant sur une surface carrée d'aire S
  * Donner la solution en considérant des conditions aux limites périodiques
  * Exprimer les valeurs propres quantifiées de l'énergie
  * Représenter dans le plan bidimensionnel des vecteurs impulsions
Référence : [[http://fr.wikipedia.org/wiki/Particule_dans_une_bo%C3%AEte]]

==== Distribution des états en fonction de l'énergie ====
  * Représenter comment on peut dénombrer le nombre de vecteurs d'impulsion possibles tel que la norme de l'impulsion est comprise entre $p$ et $p + dp$
  * Exprimer le nombre d'états en tenant compte de la dégénérescence due au nombre quantique de spin de l'électron
  * Exprimer cette distribution en fonction de l'énergie (nombre d'états accessibles aux électrons dont l'énergie est comprise entre $\epsilon$ et $\epsilon + d\epsilon$

==== Fonction de Fermi-Dirac ====
    * Exprimer en utilisant les propriétés de l'ensemble grand canonique la probabilité d'occupation d'un état dans le cas de fermions
Référence : [[http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Dirac_statistics]]

==== Distribution des électrons en fonction de l'énergie ====
  * Représenter schématiquement cette distribution  à plusieurs températures
  * 
==== Forme de la distribution à 0 K, énergie de Fermi ====
  * Déduire l'expression de l'énergie de Fermi $\epsilon_F$ pour le système étudié (correspondant au niveau de Fermi ou potentiel chimique des électrons à O K)
  * Calculer la valeur de l'énergie de Fermi

[[http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_de_Fermi]]

==== Température de Fermi ====
  * Évaluer la valeur de la température de Fermi $T_F = \epsilon_F /k_B$
  * Comparer à la valeur de la température ambiante et en tirer une première conclusion

==== Niveau de Fermi à toute température ====
  * Proposer un moyen de calculer le potentiel chimique des électrons (niveau de Fermi), $\mu$, à toute température
  * Effectuer le calcul
Référence : [[http://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_expansion|Expansion de Sommerfeld]]
==== Énergie moyenne ====
  * Montrer que l'énergie moyenne du gaz d'électrons est :
$<E>= \frac{N\epsilon_F}{2} + k_B N T \frac{\pi^2 T}{6 T_F}$

==== Chaleur spécifique électronique ====
  * Montrer que la chaleur spécifique électronique est :
$C_V =  k_B N \frac{\pi^2 T}{3 T_F}$

==== Cas du nitrure de bore ====

Le nitrure de bore est analogue au graphite, avec une longueur de liaison B­N égale à 0.1446 nm. Calculer l'énergie et la température de Fermi de ce composé.