Le pavage de Ammann-Beenker est basé sur des quasi-symétrie octogonale. La façon la plus simple de le produire consiste à partir de 2 polygones élémentaires. Un losange dont les angles intérieurs valent 45° et 135°(en jaune ci-dessous), et un carré qui est en fait décomposé en deux triangles isocèles, avec un angle droit et deux angles de 45° (en magenta ci-dessous).

Si la longueur d’un côté est appelée a, la surface élémentaire du carré vaut a², tandis que celle du losange vaut a²sin(π/4) ou a²√2/2.

Le principe de substitution (ou déflation) permet de redéfinir chaque polygone élémentaire en lui substituant un assemblage de polygones utilisant les même formes de base, mais réduite d’un même facteur d’échelle, ce qui donne à l’ensemble un caractère auto-similaire.

La règle de substitution d’un losange s’illustre comme ceci :

Celle d’un carré comme ceci :

Du point de vue des nombres de polygones, des longueurs et des surfaces, remarquons qu’un grand losange génère deux petits carrés (en fait quatre demis) et 3 losanges tandis qu’un grand carré donne lieu à trois carrés et 4 losanges. Si après déflation les côtés des losanges et carrés sont unitaires, on voit facilement qu’à la génération précédente les côtés valent 1+√2 (le nombre d’argent), soit un petit côté et la diagonale d’un petit carré.

Comme expliqué dans un article précédent, “Pavage périodique et apériodique avec Inkscape“, il est possible de créer facilement des pavages du type Ammann-Beenker en utilisant les propriétés de substitution. Les passages de pavages d’une génération à la suivante peuvent être obtenus par des groupements judicieux et en utilisant les possibilités d’appliquer un facteur de redimentionnement via la le menu “Objet – Transformer”.

Voici 3 étapes successives, au départ d’une figure à symétrie de rotation octogonale composée de huit losanges :

Le fichier SVG (dans une archive comprimée) Ammann-Beenker-inkscape.svg.zip vous permettra de réaliser vous-même ces figures, ou d’autres semblables !

Pour aller plus en profondeur dans les générations, mieux vaut écrire un programme informatique, une autre histoire…

Et pour approfondir votre réflexion, voici quelques propositions :

• Etablir de différentes manières les rapports entre les longueurs et surfaces
• via des calculs trigonométriques
• via l’analyse des propriétés de la matrice bilan d’évolution des nombres de polygones en fonction des générations (valeurs propres et vecteurs propres)
• Que déduire du caractère irrationnel des valeurs obtenues ?  notamment à propos de la non-périodicité spatiale ?
• Examiner la possibilité d’un schéma de déflation coupant les losanges de deux manières en triangles isocèles.