Le pavage du plan par des polygones réguliers ou non fait l’objet de nombreuses études. Les assemblages peuvent être périodiques ou apériodiques. Le simple marquage d’un coin de carré conduit à une multitude de possibilités (cf. les pavages de Truchet). L’utilisation de figures élémentaires (triangles, carrés, losanges) présentant des angles un peu particuliers tels que 135°, 72°ou 36° débouchent sur des pavages qui ne peuvent plus être périodiques, qualifiés alors d’apériodiques. On y remarque toutefois clairement des motifs caractérisés par des symétries d’ordre 8 ou 5 réapparaissant à différents endroits, “presque” régulièrement. Les pavages découverts par Penrose dans les années 70 sont les plus connus. Leur existence a été mise en parallèle à celle de matériaux fortement ordonnés sans être rigoureusement périodiques, les quasi-cristaux La découverte de ceux-ci par le chimiste Dan Shechtman lui a permis d’obtenir le prix Nobel de chimie 2011.

Pour toutes ces raisons, il est intéressant de modéliser ces pavages. Cela peut être fait à l’aide de plaquettes en carton ou tout autre matériau. Cet article va vous montrer comment réaliser cela à l’aide du logiciel Inkscape, et quel avantage supplémentaire on peut en tirer !

Pourquoi Inkscape ?

Inkscape est un logiciel libre de graphisme vectoriel, fonctionnant sur la plupart des systèmes (Windows, OS X et Linux). Les données sont sauvegardées au format SVG. Le graphisme vectoriel fonctionne par une description “intelligente” d’une image, par exemple un carré bleu avec une bordure noire est décrit avec les coordonnées de ses sommets, la largeur, le style et la couleur du trait qui les relie, et la couleur de remplissage utilisée. Par rapport au graphisme “bitmap” qui n’est qu’une juxtaposition de pixels, le graphisme vectoriel permet une modification par rotation, étirage, mise à l’échelle, translation,… des points caractéristiques d’un objet, ainsi qu’une redéfinition des paramètres tels que les largeur de bordure, couleurs,…  Ces avantages vont nous permettre de créer facilement des pavages !

Les quelques fonctionnalités suivantes vont nous être particulièrement utiles.

Créer un chemin polygonal

Démarrez Inkscape et vérifiez tout d’abord que toutes les barres, règles, la palette et la boite à outils sont activés (menu Affichage, Afficher/cacher : tout cocher).

Dans les outils, sélectionner “tracer des courbes de Bézier et des segments de droite”, et dans le mode “créer une séquence de segments de ligne droite. Créez ensuite avec la souris un triangle en cliquant sur 3 points de l’écran qui seront les trois sommets du triangle. Fermez le chemin triangulaire en double-cliquant sur le premier point. On peut préciser la forme en éditant les coordonnées des sommets pour définir un triangle qui soit la moitié d’un carré. Cela se fait avec l’outil “éditer les noeuds ou les poignées de contrôle d’un chemin”. Pour chaque point que vous éditerez, les nouvelles coordonnées X, Y seront rentrées dans les champs de même nom, en prenant soin d’utiliser des unités adéquates (cm par exemple). J’ai opté pour les positions (5,24) – (9,24) – (9,20).

Colorier le polygone et tracer une bordure, un trait, grouper le tout

En sélectionnant le triangle, on peut ouvrir la fenêtre “objet – remplissage et contour”, choisir une couleur de remplissage, et supprimer le contour. On obtient un triangle coloré, sans bords apparents. On peut le décorer de bordure, de segments internes,… Le mieux est d’activer l’aimantation pour les chemins qui seront créés, par exemple pour réaliser les bordures. 3 boutons sont à activer :

• aimantation aux noeuds ou aux poignées
• aimantation aux chemins
• aimantation aux points de rebroussement

Il est alors facile de créer une bordure sur deux côtés du triangle et un éventuel segment indiquant une orientation privilégiée. Lorsqu’une figure élémentaire est complète, il est judicieux d’en faire un objet unique, en sélectionnant l’ensemble et en appliquant la fonction “grouper” du menu des objets. Voici quelques exemples de réalisation :

Polygones crées avec Inkscape, utilisables pour les pavages de Ammann-Beenker et de Truchet.

Copier, tourner et assembler des pavés

La suite est facile à imaginer. Il vous suffit de copier-coller les figures élémentaires, de pouvoir les tourner d’un angle donné, d’effectuer des réflexions horizontales et verticales, et de juxtaposer ensuite les nouvelles “tuiles”, en profitant des propriétés d’aimantation déjà actives. Inkscape propose dans ses barres d’outils des boutons permettant de tourner la sélection de 90° dans le sens horaire ou anti-horaire, et aussi de retourner horizontalement ou verticalement les objets sélectionnés. Des possibilités supplémentaires sont disponibles via le menu “Objet – Transformer”, avec la possibilité de spécifier un angle de rotation, des facteurs de redimensionnement en largeur ou hauteur, des translations,…

Voici un exemple de pavage de Truchet avec 6 carrés, réalisé en quelques instants grâce à cette procédure :

Références :

• Site officiel de Inkscape
• site des utilisateurs francophones : http://www.inkscape-fr.org/
• Le manuel FLOSS http://fr.flossmanuals.net/inkscape/
• http://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_par_des_polygones_réguliers
• http://en.wikipedia.org/wiki/Sebastien_Truchet
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ammann–Beenker_tiling