Pavage de Ammann-Beenker avec Inkscape

Le pavage de Ammann-Beenker est basé sur des quasi-symétrie octogonale. La façon la plus simple de le produire consiste à partir de 2 polygones élémentaires. Un losange dont les angles intérieurs valent 45° et 135°(en jaune ci-dessous), et un carré qui est en fait décomposé en deux triangles isocèles, avec un angle droit et deux angles de 45° (en magenta ci-dessous).

Si la longueur d’un côté est appelée a, la surface élémentaire du carré vaut a2, tandis que celle du losange vaut a2sin(π/4) ou a2√2/2.

Le principe de substitution (ou déflation) permet de redéfinir chaque polygone élémentaire en lui substituant un assemblage de polygones utilisant les même formes de base, mais réduite d’un même facteur d’échelle, ce qui donne à l’ensemble un caractère auto-similaire.

La règle de substitution d’un losange s’illustre comme ceci :

Celle d’un carré comme ceci : Continuer la lecture

Pavage périodique et apériodique avec Inkscape

Le pavage du plan par des polygones réguliers ou non fait l’objet de nombreuses études. Les assemblages peuvent être périodiques ou apériodiques. Le simple marquage d’un coin de carré conduit à une multitude de possibilités (cf. les pavages de Truchet). L’utilisation de figures élémentaires (triangles, carrés, losanges) présentant des angles un peu particuliers tels que 135°, 72°ou 36° débouchent sur des pavages qui ne peuvent plus être périodiques, qualifiés alors d’apériodiques. On y remarque toutefois clairement des motifs caractérisés par des symétries d’ordre 8 ou 5 réapparaissant à différents endroits, « presque » régulièrement. Les pavages découverts par Penrose dans les années 70 sont les plus connus. Leur existence a été mise en parallèle à celle de matériaux fortement ordonnés sans être rigoureusement périodiques, les quasi-cristaux La découverte de ceux-ci par le chimiste Dan Shechtman lui a permis d’obtenir le prix Nobel de chimie 2011.

Pour toutes ces raisons, il est intéressant de modéliser ces pavages. Cela peut être fait à l’aide de plaquettes en carton ou tout autre matériau. Cet article va vous montrer comment réaliser cela à l’aide du logiciel Inkscape, et quel avantage supplémentaire on peut en tirer ! Continuer la lecture